Algunas fórmulas que facilitan el cálculo de límites.

Las siguientes "fórmulas" se desprenden de lo siguiente:



Lo que nos quiere dar a entender es que cuando x tiende a infinito, ln de x es mucho mas pequeño que x^n que a su vez es mucho más pequeño que e^x.



I)

II)

III)

IV)

V)

Ahora algunos límites cuando metemos funciones trigonométricas. Aqui se toma en cuenta que el valor de la función seno siempre va a oscilar entre 1 y -1.

VI)

VII)

VIII)

Otras fórmulas mas:

IX)

X)

Estas fórmulas simplemente facilitan el proceso de calcular el límite de una función cuando x tiende a infinito. Quizás se puede llegar al mismo resultado con puro razonamiento y algebra, pero con estas fórmulas se llega al resultado fácil y directo.

Composición de funciones.

Son dos funciones encadenadas entre si.



Para obtener la función composición de dos funciones relacionadas f(x) y g(x) simplemente se multiplican. Se puede entender mejor dando un ejemplo:

Dadas las funciones


Para calcular f

Asi que como se puede apreciar, lo único que se hace al calcular composiciones es sustituir la ecuación de la función g en la función f, y posteriormente se pone todo junto en donde "debe de ir". Espero que se entienda.

Tarea ecuaciones en LaTex

Algunos ejemplos de el tipo de ecuaciones que se logran con el lenguaje LaTex.

1.

2.

3.

4.

5.

Bueno, hay están unas pocas ecuaciones.

Propiedades de los límites.

Las propiedades de los límites son las siguientes:

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Límite de un cociente.

Viene en la forma
Para calcular el límite se separa de esta manera:

Para darnos una idea del resultado nos es útil la siguiente tabla:

Esta tabla nos ayuda para que de manera rápida nos demos una idea de cual es el límite de una ecuación/función. Al experimentar un poquito nos damos cuenta de que es totalmente lógico lo que dice la tabla, por ejemplo, lim┬(x→1/2)⁡〖(2x-1)/(4x^2+3)〗da como resultado 0/4 que es 0. Entonces vemos en la tabla que 0/D es 0.

Otro ejemplo es lim┬(x→1/2)⁡〖(2x-13)/(2x-1)〗que da como resultado 3/0. Uno quizás pensaría que el límite no existe o que es indeterminado por que un número no se puede dividir entre cero, pero es interesante lo que sucede al al graficar y comparar. Al graficarse sale una hipérbola equilatera y nos damos cuenta que el límite es la asíntota que esta en el punto 1/2 en x.
Al dar valores a-ε el límite es -∞ y si el valor es a+ε es +∞. Esto se conoce como un límite lateral por que se toman particularmente ya que son solo de un lado, y se podría decir que en este caso lim de o no existe. Nuevamente vemos como el resultado coincide con la tabla.

Los casos que resultan ser muy interesantes son en los que el resultado es "indeterminado". Estos no se solucionan con la tablita, mas bien por métodos como Factorización, Binomio conjugado, algunas fórmulas, etcétera.

Por ejemplo:
lim┬(x→1/2)⁡〖(2x-1)/(6x^2-x-1)〗
En este caso el resultado es 0/0 pero como ya vimos queda como indefinido el resultado. Una manera de resolver el límite es factorizando la equación.. que es factorizable y tratar de despejar.

lim┬(x→1/2)〖(2x-1)/(2x-1)(3x+1)〗=lim┬(x→1/2)〖1/(3x+1)〗

En este caso para nuestra fortuna se eliminan términos semejantes por el inverso neutro y etc. mas comúnmente conocido como cancelación, luego despejamos y el límite es 2/5.

Esto es todo por esta entrada, en la siguiente publicaré las propiedades de los límites.

Límites

Sea f:R→R definida cerca de "a"

Si f(x) esta arbitrariamente cerca de L cuando x esta suficientemente cerca de a. Al decir arbitrario queremos decir que el punto esta lo cerca que queramos que esté.

Aqui entran los valores épsilon y delta, que son puntos que se encuentran arbitrariamente cerca de L o de a y tenemos que:
ε>0
δ>0
A partir de esto podemos obtener las siguientes expresiones:






Una definición mas formal de límite es la siguiente:



En pocas palabras el límite es el valor máximo que puede llegar a tener una variable x en algo como quizás una función o una ecuación cuando su valor tiende a un valor a. Si x esta en vecindad de a y f(x) esta en vecindad de L el límite de una función f(x) cuando x tiende a a es L.

Para entender un poco mas el concepto de límite podemos relacionar las gráficas de las funciones ya vistas anteriormente donde hay algunas funciones en las cuales se obtienen una o mas asíntotas. Una asíntota se representaba como una recta "intocable" por la curva paralela al eje x o y en la cual se calculaba un punto en el que la curva no existe. Entonces podemos pensar que el límite de una ecuación podría ser ese valor y el valor épsilon es un valor arbitrario, o en otras palabras, bastante pequeño que no puede ser cero ya que entonces el valor sería el de la asíntota. Yo mejor no me meto mas a fondo en el tema por que no me siento lo suficientemente capacitado pero en la siguiente entrada espero hablar un poco de límite de un cociente.

Pasos para calcular la inversa.

Lo voy a explicar utilizando la función f(x)=3-2x

I. f(x)=y
Si f(x)=y,f(x)=3-2x ∴y=3-2x

II. x↔y
Se sustituyen los valores de x por los de y y viceversa.

x=3-2y

III. Se despeja y.

y=(3-x)/2

IV. Se pone el inverso

f^(-1)=(3-x)/2

Práctica de laboratorio: Gaficar función seno.

Algunas funciones de seno en el Fooplot.


Creo que son:
f(x)=senx
f(x)=sen2πx
f(x)=sen1/3πx
f(x)=3senx
f(x)=2+senx

Si me equivoco pues... pido una disculpa.

Función seno.

La fórmula utilizada es: f(x)=C+Asen2ωπ(x-β)

A la gráfica que resulta de la función seno se dice que es periódica ya que se maneja en cíclos. Para darnos una idea de manera rápida de como se verá la curva hay algunos valores ya incluídos en la ecuación que debemos de tomar en cuenta para facilitarnos todo el proceso y los mencionaré a continuación.

El valor de C es lo que determina el desplazamiento en el eje y, es decir, dice lo que se recorre hacia arriba o hacia abajo. Por ejemplo:
En f(x)=senx la curva se encuentra aqui: y al modificar la función a f(x)=3+senx se mueve 3 unidades en y hacia "arriba".
Por otro lado el valor A en la función representa la amplitud de onda de la curva. Esto se puede apreciar mejor al graficar. donde se puede ver en negro la curva de la función f(x)=senx cuya amplitud de onda es 1; en azul se observa la gráfica de la función f(x)=3senx donde se ve que la amplitud de onda es ahora 3, que es el valor de A en esta función.
En la parte 2ωπ se calcula el número de cíclos por unidad. Por ejemplo, en la función f(x)=sen2πx es un cíclo por unidad mientras que en la función f(x)=sen4πx son 2 cíclos por unidad. El número de cíclos se puede calcular al dividir el valor en la ecuación, por ejemplo la anterior que es 4π, entre 2π. Número de cíclos = Valor de 2ωπ en la ecuación en partícular / 2π.
Otro ejemplo diferente sería la función f(x)=sen1/2πx. Al calcular el número de cíclos da como resultado .25, esto significa que necesitara 4 unidades para acompletar un cíclo completo.

Y para terminar, el término (x-β) nos indica la ubicación en el eje x de la curva. El valor de β nos va a decir cuanto se recorre hacia a la izquierda o derecha la curva. Por ejemplo:

f(x)=senx


en esta función el valor de (x-β) es cero ya que la curva inicia en el punto 0.
Pero en la función f(x)=sin(x-1) vemos lo siguiente:
como podemos ver el punto en el que inicia la curva se ha desplazado una unidad en x hacia el lado positivo, dicho de otro modo, hacia la derecha.
Por otro lado en la función f(x)=sen(x+1) sucede algo diferente:
como se ve el punto de inicio de la curva se ha recorrido 1 unidad hacia el lado negativo del eje de las x, hacia la izquierda.

De estos ejemplos podemos obtener que si el valor de β es positivo, la curva se recorre a la derecha, y si es negativo, se recorre a la izquierda.

Esto es todo lo quew quería tratar con respecto a la función seno y espero que les sea de utilidad la información.