Matemáticas I

Definición de sucesión

En otras palabras, una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden. Si la sucesión sigue para siempre se dice que es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita.

En matemáticas, una sucesión es el nombre matemático que hace referencia a una lista
infinita de números. En una lista podemos hablar de primer término,
segundo término, etc., que corresponden a la posición que ocupan en
dicha sucesión.

Podemos formalizar todo esto un poco más: podemos asociar cada número
entero positivo n con un número real xn, y el conjunto ordenado:

x1, x2, x3, . . . , xn . . .

define una sucesión infinita. Observad que cada término de la sucesión
tiene asignado un número entero positivo (el puesto que ocupa en la lista)
y podemos hablar del primer término (x1), del segundo término (x2) y,
en general, del término n-ésimo (xn). Cada término (xn) tiene un término
siguiente (xn+1), por lo que, en consecuencia, no hay último término.

Una sucesión de números reales es una aplicación h de los números

naturales IN en el conjunto IR de los números reales:

h : IN → IR

n _→ h(n) = xn

La imagen de n recibe el nombre de término n-ésimo o término

general de la sucesión.

Límite de una sucesión

Límite finito de una sucesión

Consideremos la sucesión a_n = 1/n.

a₁ = 1
a₂ = 1/2 = 0.5
a₃ = 1/3 ≈ 0.33
a₄ = 1/4 = 0.25
a₅ = 1/5 = 0.2
a₆ = 1/6 ≈ 0.17
a₇ = 1/7 ≈ 0.14
a₈ = 1/8 ≈ 0.12
a₉ = 1/9 ≈ 0.11
a₁₀ = 1/10 = 0.1

A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos a_n se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.

Se dice que a_n tiende a 0, o que tiene límite 0.
Se expresa simbólicamente por: lim a_n = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada a_n -> 0.

Definición

Límite finito

lim a_n = a <=> para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a - ε <>n <>, o lo que es lo mismo, |a_n - a| < ε.

Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |a_n - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Consideremos la sucesión a_n = n².

a₁ = 1
a₂ = 4
a₃ = 9
a₄ = 16
...
a₁₀ = 100
...
a₁₀₀ = 10.000

Al crecer n, a_n no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que a_n tiende a infinito.

Definición

Límite infinito

lim a_n = +inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N a_n > K.

Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que a_N y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que a_n puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.

Del mismo modo se define lim a_n = -inf <=> para todo K<0> N a_n < style="font-size:130%;">Sucesiones monótonas

Volvemos a las sucesiones del tema anterior, y consideramos las sucesiones
de t´ermino general xn = 1
n, yn = n y zn = sinn.

Sucesiones monótonas

Volvemos a las sucesiones del tema anterior, y consideramos las sucesiones
de término general xn = 1
n, yn = n y zn = sinn.

Tal y como se observa en los gráficos, la sucesión xn decrece de manera
indefinida, yn crece indefinidamente y zn ni crece ni decrece.
.

• Una sucesión {xn} es creciente si para todo n ∈ IN se
verifica que xn ≤ xn+1.
• Una sucesión {xn} es estrictamente creciente si para todo n ∈ IN
se verifica que xn <> xn+1.

Una sucesión {xn} es monótona si es creciente o decreciente.

Sucesiones acotadas

Consideramos las sucesiones de término general xn = 1
n, yn = n y zn = sinn
y las representamos gráficamente:

A partir de los gráficos podemos observar cómo la sucesión y n crece de
forma indefinida, mientras que los valores xn y zn nunca están por encima
de 1. Así, xn y zn son sucesiones acotadas; por el contrario, yn es no acotada.
Una sucesión está acotada si existe un número K tal que los valores que
toma la sucesión nunca superan el valor K.

Una sucesión {xn} es acotada si existe un número real K tal que:
|xn| ≤ K ∀n ∈ IN.
Entonces, K es una cota de la sucesión {xn}.

Serie geométrica

Suma de una serie geométrica, es decir, una serie a₁ + a₂ + a₃ + ... en la que los términos forman una secuencia geométrica.

La suma de los primeros n términos se puede obtener de la siguiente manera:

S_n	= a₁ + a₂ + a₃ + ...a_n
	= a₁ + a₁r + a₁r² + ... + a₁r^n-1
	= a₁ (rⁿ - 1)/(r - 1)

en la que r es la relación común.

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Los elementos de la sucesion son de la forma an=rn, donde r <> 0, 1.

b. Ejemplos

I. Ajedresista: 1+2+4+8+16+…+2^63

II. Resolucion de forma general de la serie geometrica

III. Aplicacion en la serie (1/2)0+(1/2)1+(1/2)2+…+(1/2)n

Serie aritmética

Una serie aritmética o progresión aritmética es una sucesión de números racionales en la que cada termino se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo.

Para indicar el término fijo que se va sumando suele usarse la letra d. Se expresan de la forma $a n$ que recibe el nombre de término. n es el indice, e indica la posición que ocupa en la sucesión.

Ejemplo:

$d = 3$

$a 1 = 5$

$a 2 = a 1 + d = 8$

$a 3 = a 2 + d = 11$

a 4 = a 3 + d = 14

Término general

El término general es la fórmula que nos permite obtener cualquier término de la sucesión conociendo la posición que ocupa dicho término de la sucesión.

Si observamos el ejemplo anterior observamos que:

$a 3 = a 2 + d = 11$

Si sustituimos $a 2$ por $a 2 = a 1 + d = 8$ obtenemos:

$a 3 = a 1 + d + d = 11$

O lo que es lo mismo:

$a 3 = a 1 + d + d = 11$

Si seguimos nos daremos cuenta que siempre se cumple:

$a n = a k + (n - k) d$

Progresiones crecientes y decrecientes

Son crecientes aquellas sucesiones en las que d es mayor que 0

$d > 0$

Son decrecientes aquellas sucesiones en las que d es menor que 0

$d <>$

Si d es igual a 0 la progresión es constante.

PROPIEDADES DE LAS SERIES

La sumatoria tiene unas propiedades que se nombraran a continuación:

para n entero positivo y c constante, se cumple
$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^{n}a=cn\end{displaymath}$
Para k entero positivo ${a_1, a_2,a_3,a_4...}$ conjunto de numeros reales y c constante real,se cumple
$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^{n}ca_k =c\sum_{i=1}^{n}a_k \end{displaymath}$
Para k entero positivo ${a_1, a_2,a_3,a_4...}$ conjunto de numeros reales y c constante real,se cumple
$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^{n}c_k + b_k =\sum_{i=1}^{n}b_k+\sum_{i=1}^{n} a_k \end{displaymath}$
Para k entero positivo ${a_1, a_2,a_3,a_4...}$ conjunto de numeros reales y c constante real,se cumple
$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^{n}c_k - b_k =\sum_{i=1}^{n}b_k-\sum_{i=1}^{n} a_k \end{displaymath}$

Estas propiedades se deducen de la las leyes asociativa y conmutativa de la adicion.

Serie de potencias

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

$\sum_{n=0}^\infty c_n (x)^n$

Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:

$\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$

En el cual el centro es a, y los coeficientes $c n$ son constantes.

c n

Ejemplos:

La serie geométrica $\sum_{n=0}^\infty x^n$ es una serie de potencias absolutamente convergente si $| x | <> y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1$

La serie de potencias $\sum_{n=1}^\infty (x/n)^n$ es absolutamente convergente para todo $x \in \R$

La serie de potencias $\sum_{ n=3}^\infty (xn)^n$ solamenteconverge para

x = 0

Derivacion de las Series de Potencia

En pocas palabras, para derivar unaserie de potencias es necesario conocer su radio de convergencia,.

Representación de una función en series de potencia

Representación de una función en serie de potencial
Básicamente se analiza la función en serie como lo harías en cualquier función, en el siguiente caso se parece a una función racional lineal, por lo que el resultado es una hipérbola equilátera.

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x.

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

$f(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$

que puede ser escrito de una manera más compacta como

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,$

donde n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y

(x - a) 0

0!

son ambos definidos como uno.

Series de Taylor notables

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones importantes. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad, \forall x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Serie geométrica

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Teorema del binomio

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad$ para todo $\left| x \right| < 1\quad$ y cualquier $\alpha\quad$ complejo

Funciones trigonométricas

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

Donde B_s son los números de Bernoulli

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Funcines hiperbólicas

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad , \forall x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Función W de Lambert

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{1}{e}$

Fuentes:
http://cv.uoc.es/cdocent/A2TQIGW2OHGMOTQC4XAE.pdf
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html
http://www.branchingnature.org/Sucesiones_Series_Dario_Sanchez.pdf
http://matematica.50webs.com/sucesiones.html
http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/halime/hsj/hsj.html
http://www.mitecnologico.com/Main/MatematicasI
http://www.dim.uchile.cl/~docencia/calculo_dif/material/presentacion_semana/presenta_sem15_calcdiff.pdf
http://es.wikipedia.org
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r7009.DOC -
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r7003.DOC -

Matemáticas I

sábado, 27 de febrero de 2010

Final

domingo, 13 de diciembre de 2009

Sucesiones y series

Límite finito de una sucesión

Definición

Límite finito

Límite infinito de una sucesión

Definición

Límite infinito

Progresiones crecientes y decrecientes

Series de Taylor notables

Función exponencial y logaritmo natural

Serie geométrica

Teorema del binomio

Funciones trigonométricas

Funcines hiperbólicas

Función W de Lambert

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