Funciones trigonométricas inversas.

Las funciones trigonométricas inversas y su representacion gráfica, disculpen la brevedad de la explicación.

Funcion arcoseno

f(x)=arcsen(x)



Función arcocoseno

f(x)=arccos(x)



Función arcotangente

f(x)=arctg(x)



Función arcosecante

f(x)=arcsec(x)


Función arcocosecante

f(x)=arccsc(x)


Despues hablaré un poco mas de estas funciones.

Funciones trigonométricas

Esta ocasión simplemente presentaré de manera general la forma mas simple de las funciones trigonométricas, todavía no se por que son así, ni como se encuentra la curva a partir de la ecuación, pero eso espero poder publicarlo luego.

Función seno.

f(x)= sen(x)



Función coseno.

f(x)=cos(x)



Función tangente

f(x)=tan(x)



Función secante.

f(x)=sec(x)



Función cosecante

f(x)=csc(x)

Funciones(continuación)

VIII) Función exponencial.

f(x)=c+e^ax+b

Es un tipo de curva en la que la relación entre los valores de x y y cambia radicalmente. Primero el valor de x cambia rapidamente mientras que el valor en y lo hace de manera paulatina, y despues el ritmo de crecimiento se invierte. Una forma de darse una idea de la posición y forma de la curva es encontrar el punto en el que empiezan a crecer los valores en x "exponencialmente" y a partir de ahi calcular algunos puntos antes y despues que no esten muy retirados(los valores por un lado se acercan muy rapidamente a cero y por otro aumentan alocadamente, asi que el dar valores muy grandes el trabajo de graficar la función es mas complicada). Existen algunas cosas a considerarse, por ejemplo, en la función f(x)=e^x el punto se encuentra en (0,1), un análisis mas detallado de la fórmula c+e^ax+b nos demuestra que "c" es el desplazamiento de la curva en y, ax+b sera lo que se traslade en x, al igualar ax+b a cero nos da el punto de la curva en específico que en la función f(x)=e^x es (0,1). Con estos conceptos y un poco de percepción uno se puede imaginar rapidamente mas o menos en que lugar estará la curva.

Ejemplos:

f(x)=e^x
DOM(f)=(-∞,+∞) RAN(f)=(o,+∞) (el rango es abierto a infinito por que ningun valor de y puede "tocar" el cero)



f(x)=2+e^x-1



IX) Función logarítmica.

f(x)=c+kln(ax+b)

Para ponerlo de una manera mas sencilla y rápida, la funcion logarítmica es el inverso de la función exponencial. Esta vez "c" es el valor que traslada la curva en x, el dominio y rango se intercambian y los valores de x y y tambien se intercambian... o algo parecido. Veamoslo de manera gráfica:



La próxima vez espero publicar algo sobre las funciones trigonométricas, mínimo de la función seno.

Funciones

"Una función f es un conjunto de pares ordenados tal que no hay 2 pares con el mismo primero elemento" - Alberto Lomeli

Es una definición breve pero muy útil para ayudarnos a entender lo que es una función. Siempre consta de pares f(x,y) ordenadas en la que los valores de la función son número reales.
A la agrupación de números del primer conjunto se les llama dominio mientras que a los del segundo conjunto se les conoce como Rango o contradominio.
DOM(f)={x∈R|(x,y)∈f}y RAN(f)={y∈R|(x,y)∈f}
Los elementos se presentan con mayúsculas y los elementos con minúsculas.

Tipos de Funciones.

I) Función lineal.

f(x)=ax+b

Esta función representa una línea al graficarla.

Ejemplos:
- f(x)=2x-5


- f(x)=-1/2 x+3/4

En estos casos el Dominio es DOM(-∞,+∞) y el Rango RAN(-∞,+∞) tambien.

II) Función cuadrática

f(x)=ax^2+bx+c

Donde se utiliza la "fórmula" x=-b/2a para calcular de una manera mas sencilla el punto en el que la curva cambia de dirección, a ese punto tambien se le llama vértice. Para conocer de una manera rápida la forma aproximada de la curva está una técnica en la cual se iguala a cero ax^2+b ya que se toma el valor de "c" como valor en y para que en la ecuación se elimine y quede libres los valores en x y al factorizar quedan dos puntos en x en los cuales y es la misma. Asi uno se da una idea de la curva que resulta de la función.

Ejemplos:

f(x)=4x^2-3x+1
DOM(f)=(-∞,+∞) RAN(7/16,+∞)

Se pueden ver los dos puntos que resultan de la técnica antes mencionada.

f(x)=x^2-6x+10
DOM(f)=(-∞,+∞) RAN[1,+∞)


f(x)=2x^2-3x+1
DOM(f)=(-∞,+∞) RAN[-1/8,+∞)


III) Función raíz lineal

f(x)=√(ax+b)

En esta función se calcula la parte de la parábola en la que los valores para y son positivos, por lo que se mira como si la parábola estuviera a la mitad. Para sacar el vértice igualas a cero la ecuación que está dentro de la raíz ya que en el momento que y vale cero f(x) es cero.

Ejemplos:

f(x)=√(3x-5)
DOM(f)=[5/3,+∞) RAN(f)=(0,+∞)


f(x)=√(5-2x)
DOM(f)=(-∞,2.5] RAN(f)=[0.+∞)


IV) Raíz cuadrática

f(x)=√(ax^2+bx+c)

En esta función se calcula la parte de la hipérbola o elipse en la que los valores para y son positivos, por lo que se mira como si estas estuvieran a la mitad. Para sacar el vértice igualas a cero la ecuación que está dentro de la raíz y factorizas para sacar los dos valores en x en los que y vale 0.

Ejemplos:

f(x)=√(x^2-x-6)
DOM(f)=(-∞,-2)∪(3,+∞) RAN(f)=[0,+∞)


f(x)=√(2-x²+x)
DOM(f)=[-.78,1.28] RAN(f)=[0,1.732]


V) Función racional lineal

f(x)=k/(ax+b)

Es una función cuya representación gráfica se considera una hipérbola equilatera. Se iguala la ecuación ax+b para encontrar la asíntota, que es una recta en la cual no toca ningun punto de la curva pero que relaciona a ambas como eje de simetría. De hecho, se tienen dos asíntotas, pero en esta ecuacióm la segunda sería el eje de las x.

Ejemplos:

f(x)= 1/x
DOM(f)=(-∞,0)∪(0.+∞) RAN(f)=(-∞,0)∪(0.+∞)


f(x)=7/3x-4
DOM(f)=(-∞,4/3)∪(4/3.+∞)RAN(f)=(-∞,0)∪(0.+∞)


VI) Relacional cuadrática

f(x)=k/(ax^2+bx+c)

Un método rápido y sencillo para graficar esta función es el igualar a cero la ecuación cuadrática para sacar 2 valores en x que serán las asíntotas aparte del eje x. Para darte una idea de la figura de la curva conviene eleguir un punto antes de una de las x, en medio de las dos x y otro despues de la otra x. De preferencia el punto que eligas en medio de las x trata de que sea el punto medio entre ambos para encontrar el vértice.

Ejemplos:

12/(x^2+2x-8)
DOM(f)=(-∞,-4)∪(-4,2)∪(2,+∞) ó R-{-4,2} RAN (-∞,-4/3]∪(0,+∞)


VII) Función inversa

La inversa de f es:
f^(-1):R→R tal que (a,b)∈f^(-1)↔(b,a)∈f
ftiene función inversa si es 1-1, es decir, no hay dos pares con la misma y.
Ejemplo: f(x):x^2

Propiedad básica
Si f:R→R es una función y f^(-1):R→R es una inversa
f(f^(-1)(x))=x
f^(-1)(f(x))=x

Por esta vez es todo, pero espero que pronto pueda publicar mi proxima entrada sobre funciones exponenciales y su inversa que es la logarítmica.

Temario de Matemáticas I

1 Números Reales

1.1 Clasificación de los Números Reales

1.2 Propiedades de los Números Reales

1.3 Interpretación Geométrica de los Números Reales

1.4 Desigualdades

1.5 Valor Absoluto y sus Propiedades

2 Funciones

2.1 Definición De Función

2.2 Representaciones De Funciones (tablas, gráficas, formulas y palabras)

2.3 Clasificación De Las Funciones Por Su Naturaleza Algebraicas Y Trascendentes

2.3.1 Función Polinomial

2.3.2 Función Racional

2.3.3 Función Raíz

2.3.4 Función Trigonométrica

2.3.5 Función Exponencial

2.3.6 Función Logarítmica

2.3.7 Función Definida Parte Por Parte

2.3.8 Función Inversa

2.3.9 Función Implícita

2.4 Clasificación De Las Funciones Por Sus Propiedades

2.4.1 Función Creciente Y Decreciente

2.4.2 Función Par E Impar

2.4.3 Función Simétrica

2.4.4 Función Periódica

2.5 Operaciones Con Funciones Y Composición De Funciones

2.6 Translación De Funciones

3 Límites Y Continuidad

3.1 Definición De Límite

3.2 Propiedades De Los Límites

Limite de un Cociente

3.3 Limites Laterales

3.4 Asíntotas Verticales Horizontales U Oblicuas

3.5 Limites Especiales

3.6 Definición De Continuidad

3.7 Propiedades De La Continuidad

4 Derivadas

4.1 Definición Derivada

4.2 Interpretación Geométrica Y Física De La Derivada

4.3 Derivada De La Función Constante

Derivada Del Producto De Una Constante Por Una Función

Derivada De La Función Xn Cuando N Es Un Entero Positivo Y Cuando N Es Un Numero Real

Derivada De Una Suma De Funciones

Derivada De Un Producto De Funciones

Derivada De Un Cociente De Funciones

4.4 Derivada De Las Funciones Exponenciales

4.5 Derivada De Las Funciones Trigonométricas

4.6 Derivada De Las Funciones Compuestas (regla de la cadena)

4.7 Derivada De La Función Inversa

4.8 Derivada De Las Funciones Logarítmicas 4.9 Derivada De Las Funciones Trigonométricas Inversas

4.10 Derivada De Las Funciones Implícitas

4.11 Derivadas Sucesivas

4.12 Funciones Hiperbólicas Y Sus Derivadas

4.13 Teorema Del Valor Medio

Teorema De Rolle

5 Aplicaciones de la derivada

5.1 Recta Tangente Normal E Intersección De Curvas

5.2 Máximos Y Mínimos Criterio De La Primera Derivada

5.3 Máximos Y Mínimos Criterio De La Segunda Derivada

5.4 Funciones Crecientes Y Decrecientes

5.5 Concavidades Y Puntos De Inflexión

5.6 Estudio General De Curvas

5.7 Derivada Como Razón De Cambio Y Aplicaciones

5.8 Problemas De Aplicación Optimización Y Cinemática

5.9 Regla De L Hopital

6 Sucesiones Y Series

6.1 Definición De Sucesión

6.2 Limite De Una Sucesión

6.3 Sucesiones Monótonas Y Acotadas

6.4 Definición De Serie Infinita

6.5 Serie Aritmética Y Geométrica

6.6 Propiedades De Las Series

6.7 Convergencia De Series

6.8 Series De Potencia

6.9 Derivación De La Series De Potencia

6.10 Representación De Una Función En Series De Potencia

6.11 Serie De Taylor

Serie De McLaurin

Mi primer entrada en este blog de matemáticas.

Este blog es una recopilación de los temas vistos en la clase de Matemáticas I impartida por el Profesor y Matemático Luis Alberto Lomeli Beherendt (espero no equivocarme en su nombre y profesión) en el Instituto Tecnológico de Tijuana.

Desde la primera clase uno se da cuenta de la calidad de enseñanza y la calidad como ser humano de este profesor, realmente algo impresinante. El Profesor Lomeli imparte la materia de una manera tan clara y tan sencilla que creo que podría enseñarle cálculo a un niño de primaria, es algo especial. Me da gusto de tener el privilegio de ser un discipulo suyo y creo que con su ayuda llegaré a tener mejor comprensión de los temas a tratar en la materia.

En cuanto a mi trataré de publicar con frecuencia los conocimientos impartidos en las clases y quizás algunas observaciones o puntos de vista personales de los temas vistos.